열심히 살지 말자: 비선형시스템의 가관측성 (Observability of nonlinear system)

실제로 관측기를 설계할 때, 시스템이 관측가능한지 가능하지 않은지는 체크하지 않고 그냥 하는 경우가 많다. 실제로도 불가능한것보다 가능한게 더 많고.

그런데 논문쓸땐 관측가능한지 아닌지 꼭 적는것 같다. 그래서 비선형시스템의 가관측성에 대해서 글을 써봄.

우선 선형시스템부터.

$\dot{x}=Ax$
$y=Cx$

이라는 시스템이 있다고 해보자. (왜 입력이 없냐? 라고 반문할수도 있지만 이미 u는 알고있으므로 이항해서 다른변수로 치환하여 소거해도 댐)
이때 이 시스템의 거동은 y를 쭉 미분해보면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$y=Cx$
$\dot{y}=CAx$
$\vdots$
$y^{(n-1)}=CA^{n-1}x$

이럴때 다시 이를 행렬을 이용한 일차 연립 상미분방정식으로 나타내면 아래와 같다.

$\begin{bmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C\\\vdots\\CA^{(n-1)}\end{bmatrix}x$

A가 n x n 정방행렬이고 C가 1 x n 행벡터면
y는 스칼라고 x는 열벡터다. 이때

y의 거동을 결정하는 유일한 x가 존재한다 라는 명제와

$\begin{bmatrix}{C}&{\cdots}&{CA^{(n-1)}}\end{bmatrix}^{T}$ 가 full column rank이다라는 명제는 동치가 된다.
즉 y가 움직이고 있는 모양새를 보고 x를 추측해낼 수 있다는 얘기.

그럼 이번에 얘기하고자 하는 비선형 시스템
n크기의 열벡터 x에 대해

$\dot{x}=f(x)$
$y=h(x)$
여기서 f는 n차원 공간에서 n차원 공간으로 사상하는 함수고
h는 n차원 공간에서 1차원 공간으로 사상하는 부드러운(모든 영역에서 미분가능)한 함수다.
(내가 수식입력하는 방법으로는 왜인지 \to \rightarrow \mapsto 가 안먹힘)

이러한 시스템에다가 리 미분값(Lie derivative)을 정의해보자.
$L^{k+1}_{f}=f\cdot\nabla{L^{k}_{f}}$
$L^{0}_{f}=h(x)$

(사실 본인생각은 표기가 깔끔한것만 빼면 내적연산자의 순서를 바꾸고싶다)
이때, 선형시스템의 y값의 거동을 나타내는 연립방정식의 형태로 나타내보자.

$y=h(x)=L^{0}_{f}$
$y^{(1)}=\dot{x}\frac{\partial{h}}{\partial{x}}=f\cdot\nabla{L^{0}_{f}}=L^{1}_{f}$
$\vdots$
$y^{(n-1)}=f\cdot\nabla{L^{(n-2)}_{f}}=L^{(n-1)}_{f}$

이걸 다시 잘 정리하면
$\begin{bmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L^{(0)}_{f}\\\cdots\\L^{(n-1)}_{f}\end{bmatrix}$
여기서 이것만으론 x와의 관계를 선형연립방정식으로 나타낼수 없으니까.
안타깝지만 여기서 초기치인 x0에서의 지역적 선형화(혹은 1차까지만의 테일러급수)를 해보자. 그러면 위의 식은 아래와 같이 변형된다

$\begin{bmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L^{(0)}_{f}\\\cdots\\L^{(n-1)}_{f}\end{bmatrix}|_{x=x_{0}}+\begin{bmatrix}\nabla{L^{(0)}_{f}}\\\cdots\\\nabla{L^{(n-1)}_{f}}\end{bmatrix}|_{x=x_{0}}(x-x_{0})$

그럼 우변에서 첫번째 항은 상수고 두번째항은 선형변환이 된다.
저 식을 이래저래 정리하여 상수항을 죄다 왼쪽에다가 몰으면 우변은

$\begin{bmatrix}\nabla{L^{(0)}_{f}}\\\cdots\\\nabla{L^{(n-1)}_{f}}\end{bmatrix}|_{x=x_{0}}x$

만 남게 되고 이 선형변환이 유일한 x값을 가질 수 있으면 (즉 full rank)면 이 시스템은 관측가능하다고 할 수 있다.

출처
http://www.me.berkeley.edu/ME237/6_cont_obs.pdf

열심히 살지 말자

2015년 4월 14일 화요일

비선형시스템의 가관측성 (Observability of nonlinear system)

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