리아프노프 안정성 (Lyapunov stability)

오늘 읽은 글에 대해서 써봐야겠다.

출처는 영어위키
(URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability)

영어위키의 글을 순수하게 번역하면 이렇다.

안정하다는 말은 시스템의 상태변수 가 근처에서 머무른다고 할때 이 는 안정하고 를 안정점이라고 한다.

1. 모든 에 대해 이고 모든 양수 에 대하여 를 만족하는 이 존재한다면 리아프노프 안정하다고 한다.

이 말을 좀 정성적으로 바꿔보면 이렇다.

그림의 사인함수처럼 안정점으로부터 일정 거리이상 튕겨나가지 않는 것을 리아프노프 안정하다고 하는 것이다. 또  의 의미는 시작지점과 안정점과의 차이가 0이 아니어도 된다는 것이다.(라고 생각한다. 다르게 생각하는 사람이 있다면 댓글로 적어주길 바란다.)

반대로 리아프노프 안정하지 않은 시스템은?

이렇게 안정점으로부터의 거리가 무한하게 되는 경우를 말한다. (증가하는 것 뿐만 아니라 탄젠트함수처럼 중간에 무한이 되어도 리아프노프 안정하지 않다.)

1. Lyapunov stability of an equilibrium means that solutions starting "close enough" to the equilibrium (within a distance  from it) remain "close enough" forever (within a distance  from it). Note that this must be true for any  that one may want to choose.

라고 부연설명이 나오는데 직역하면 평형과 "충분히 가깝게" 출발해서 "충분히 가까운"상태에 영원히 머문다. 라고쯤...

2. 인데 가 0으로 수렴하면 이는 점근적으로 안정하다고 한다.

그림처럼 x=0에 가까워지는걸 말한다.

1. Asymptotic stability means that solutions that start close enough not only remain close enough but also eventually converge to the equilibrium.

직역은 점근적으로 안정하다는 건 "충분히 가깝게"시작하여 머무르는 것만이 아닌, 때때로 평형에 수렴하려고 하는 것만을 말한다.

3.  일때 모든 에 대하여  를 만족하는  들이 있다면 이를 지수적으로 안정하다고 한다.

1. Exponential stability means that solutions not only converge, but in fact converge faster than or at least as fast as a particular known rate .

직역은 때때로 수렴하려고만 하는게 아니라, 최소한 특정한 목표치보다 더 빠르게 수렴한단뜻.

제어하는 사람에게 중요한건 이런 안정성의 정의보다는 리아프노프 제 2방법을 아는 것이 더 중요하다.

리아프노프 함수 V(x)를 설정하고 이 함수가 x=0외의 지점에선 Positive definite이며 그 도함수는 negative definite면 이는 점근적으로 안정하다고 볼 수 있음... 

그 예시는 아래와 같음.