열심히 살지 말자: 4월 2015

2015년 4월 14일 화요일

비선형시스템의 가관측성 (Observability of nonlinear system)

실제로 관측기를 설계할 때, 시스템이 관측가능한지 가능하지 않은지는 체크하지 않고 그냥 하는 경우가 많다. 실제로도 불가능한것보다 가능한게 더 많고.

그런데 논문쓸땐 관측가능한지 아닌지 꼭 적는것 같다. 그래서 비선형시스템의 가관측성에 대해서 글을 써봄.

우선 선형시스템부터.

$\dot{x}=Ax$
$y=Cx$

이라는 시스템이 있다고 해보자. (왜 입력이 없냐? 라고 반문할수도 있지만 이미 u는 알고있으므로 이항해서 다른변수로 치환하여 소거해도 댐)
이때 이 시스템의 거동은 y를 쭉 미분해보면 아래와 같이 나타낼 수 있다.
$y=Cx$
$\dot{y}=CAx$
$\vdots$
$y^{(n-1)}=CA^{n-1}x$

이럴때 다시 이를 행렬을 이용한 일차 연립 상미분방정식으로 나타내면 아래와 같다.

$\begin{bmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}C\\\vdots\\CA^{(n-1)}\end{bmatrix}x$

A가 n x n 정방행렬이고 C가 1 x n 행벡터면
y는 스칼라고 x는 열벡터다. 이때

y의 거동을 결정하는 유일한 x가 존재한다 라는 명제와

$\begin{bmatrix}{C}&{\cdots}&{CA^{(n-1)}}\end{bmatrix}^{T}$ 가 full column rank이다라는 명제는 동치가 된다.
즉 y가 움직이고 있는 모양새를 보고 x를 추측해낼 수 있다는 얘기.

그럼 이번에 얘기하고자 하는 비선형 시스템
n크기의 열벡터 x에 대해

$\dot{x}=f(x)$
$y=h(x)$
여기서 f는 n차원 공간에서 n차원 공간으로 사상하는 함수고
h는 n차원 공간에서 1차원 공간으로 사상하는 부드러운(모든 영역에서 미분가능)한 함수다.
(내가 수식입력하는 방법으로는 왜인지 \to \rightarrow \mapsto 가 안먹힘)

이러한 시스템에다가 리 미분값(Lie derivative)을 정의해보자.
$L^{k+1}_{f}=f\cdot\nabla{L^{k}_{f}}$
$L^{0}_{f}=h(x)$

(사실 본인생각은 표기가 깔끔한것만 빼면 내적연산자의 순서를 바꾸고싶다)
이때, 선형시스템의 y값의 거동을 나타내는 연립방정식의 형태로 나타내보자.

$y=h(x)=L^{0}_{f}$
$y^{(1)}=\dot{x}\frac{\partial{h}}{\partial{x}}=f\cdot\nabla{L^{0}_{f}}=L^{1}_{f}$
$\vdots$
$y^{(n-1)}=f\cdot\nabla{L^{(n-2)}_{f}}=L^{(n-1)}_{f}$

이걸 다시 잘 정리하면
$\begin{bmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L^{(0)}_{f}\\\cdots\\L^{(n-1)}_{f}\end{bmatrix}$
여기서 이것만으론 x와의 관계를 선형연립방정식으로 나타낼수 없으니까.
안타깝지만 여기서 초기치인 x0에서의 지역적 선형화(혹은 1차까지만의 테일러급수)를 해보자. 그러면 위의 식은 아래와 같이 변형된다

$\begin{bmatrix}y\\\vdots\\y^{(n-1)}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}L^{(0)}_{f}\\\cdots\\L^{(n-1)}_{f}\end{bmatrix}|_{x=x_{0}}+\begin{bmatrix}\nabla{L^{(0)}_{f}}\\\cdots\\\nabla{L^{(n-1)}_{f}}\end{bmatrix}|_{x=x_{0}}(x-x_{0})$

그럼 우변에서 첫번째 항은 상수고 두번째항은 선형변환이 된다.
저 식을 이래저래 정리하여 상수항을 죄다 왼쪽에다가 몰으면 우변은

$\begin{bmatrix}\nabla{L^{(0)}_{f}}\\\cdots\\\nabla{L^{(n-1)}_{f}}\end{bmatrix}|_{x=x_{0}}x$

만 남게 되고 이 선형변환이 유일한 x값을 가질 수 있으면 (즉 full rank)면 이 시스템은 관측가능하다고 할 수 있다.

출처
http://www.me.berkeley.edu/ME237/6_cont_obs.pdf

리아프노프 안정성 (Lyapunov stability)

오늘 읽은 글에 대해서 써봐야겠다.

출처는 영어위키
(URL: http://en.wikipedia.org/wiki/Lyapunov_stability)

영어위키의 글을 순수하게 번역하면 이렇다.

안정하다는 말은 시스템의 상태변수 $x$ 가 $x_{e}$ 근처에서 머무른다고 할때 이 $x$ 는 안정하고 $x_{e}$ 를 안정점이라고 한다.

1. 모든 $\epsilon\geq0$ 에 대해 $\begin{Vmatrix}x(0)-x_{e}\end{Vmatrix}<\delta$ 이고 모든 양수 $t\geq0$ 에 대하여 $\begin{Vmatrix}x(t)-x_{e}\end{Vmatrix}<\epsilon$ 를 만족하는 $\delta\geq0$ 이 존재한다면 리아프노프 안정하다고 한다.

이 말을 좀 정성적으로 바꿔보면 이렇다.

그림의 사인함수처럼 안정점으로부터 일정 거리이상 튕겨나가지 않는 것을 리아프노프 안정하다고 하는 것이다. 또 $\begin{Vmatrix}x(0)-x_{e}\end{Vmatrix}<\delta$ 의 의미는 시작지점과 안정점과의 차이가 0이 아니어도 된다는 것이다.(라고 생각한다. 다르게 생각하는 사람이 있다면 댓글로 적어주길 바란다.)

반대로 리아프노프 안정하지 않은 시스템은?

이렇게 안정점으로부터의 거리가 무한하게 되는 경우를 말한다. (증가하는 것 뿐만 아니라 탄젠트함수처럼 중간에 무한이 되어도 리아프노프 안정하지 않다.)

Lyapunov stability of an equilibrium means that solutions starting "close enough" to the equilibrium (within a distance $\delta$ from it) remain "close enough" forever (within a distance $\epsilon$ from it). Note that this must be true for any $\epsilon$ that one may want to choose.

라고 부연설명이 나오는데 직역하면 평형과 "충분히 가깝게" 출발해서 "충분히 가까운"상태에 영원히 머문다. 라고쯤...

2. $\begin{Vmatrix}x(0)-x_{e}\end{Vmatrix}<\delta$ 인데 $\begin{Vmatrix}x(t)-x_{e}\end{Vmatrix}$ 가 0으로 수렴하면 이는 점근적으로 안정하다고 한다.

그림처럼 x=0에 가까워지는걸 말한다.

Asymptotic stability means that solutions that start close enough not only remain close enough but also eventually converge to the equilibrium.

직역은 점근적으로 안정하다는 건 "충분히 가깝게"시작하여 머무르는 것만이 아닌, 때때로 평형에 수렴하려고 하는 것만을 말한다.

\|x(0)-x_e\| < \delta

일때 모든

t \geq 0

에 대하여

\|x(t)-x_e\| \leq \alpha\|x(0)-x_e\|e^{-\beta t}

를 만족하는

\alpha, \beta, \delta >0

들이 있다면 이를 지수적으로 안정하다고 한다.

Exponential stability means that solutions not only converge, but in fact converge faster than or at least as fast as a particular known rate $\alpha\|x(0)-x_e\|e^{-\beta t}$ .

직역은 때때로 수렴하려고만 하는게 아니라, 최소한 특정한 목표치보다 더 빠르게 수렴한단뜻.

제어하는 사람에게 중요한건 이런 안정성의 정의보다는 리아프노프 제 2방법을 아는 것이 더 중요하다.

리아프노프 함수 V(x)를 설정하고 이 함수가 x=0외의 지점에선 Positive definite이며 그 도함수는 negative definite면 이는 점근적으로 안정하다고 볼 수 있음...

그 예시는 아래와 같음.